- Подпишитесь, чтобы читать далее
Обсудим, друзья, интересный вопрос про веревку, натянутую сквозь расширяющуюся Вселенную. Если она "там", скажем, закреплена, а Вселенная расширяется, то "здесь" веревка будет двигаться? И можно ли совершать работу, крутя ею здесь гончарный круг, например? А как быть с тем, что разбегание отдаленных областей может и быстрее света быть? Ведь скорость разбегания пропорциональная расстоянию (закон Хаббла), и запретов тут нет. Оно бы и ладно, но веревка-то движется в обычном смысле, и возникает тень парадокса.
Расширение пространства происходит сразу везде (где гравитация этот процесс не сдерживает). Если веревка легкая и не гравитирует, то она будет растягиваться при расширении пространства. И порвется.
Если веревка прочная и нерастяжимая, то она все равно порвется, если проходит через горизонт. Горизонт в данном случае — это такое расстояние, на котором скорость разбегания равна скорости света. Точно так же, как с черной дырой: из чего бы веревка ни была изготовлена, горизонт ее разрежет как бритва (об этом в другой раз расскажу, там есть нюансы). Потому что никакая связь не сможет связать частицы по сю и по ту сторону горизонта.
Предположение об абсолютно прочной абсолютно нерастяжимой веревке ведет к противоречию — но это проблема предположения. Ровно такой же парадокс возникает про всепробивающую стрелу и непробиваемый щит. Или про непромахивающегося Робина Гуда и Бориса Хренпопадешь.
Но да, веревка будет утекать и может совершать работу.
Давайте прибегнем к средневековой аналогии. Пусть за пределами городских стен взимается пошлина с путников и она каждый день растет. Путник не может взять с собой больше, чем 300 монет в сутки. Расстояние между точками на карте мы будем измерять в монетах. И оно, как видим, растет. Мы тоже частенько измеряем расстояние в часах на дорогу или в расходах на билеты, так что из Хабаровска в Корею дешевле через Москву, и это еще не самый парадоксальный случай.
Пусть вдоль дороги расставлены монахи, с дистанцией в одну милю. Такая эстафета. Отец-настоятель может быстро передать в город письмо, приложив к нему кошель с монетами: монах пробежит милю (заплатив пошлину), передаст пакет и кошель, и вернется. Так пакет быстро достигнет города. Не быстрее, чем мог бы пробежать монах, но монаху не пробежать триста монет за сутки. Сил не хватит. А по эстафете можно.
Это веревка. Из монахов. Они вроде частиц, из которых состоит веревка.
Однако цена растет, и миля становится все дороже. Монахи пробегают ту же милю, но в монетах это все больше и больше.
Веревка растягивается.
Если кошеля не хватит, письмо города не достигнет. Веревка порвалась на горизонте. Монахов, что ближе к городу, даже в монастырь уже не вернуть: суточных недостаточно. Более того, даже сообщение им не переправить.
Нерастяжимая веревка — это если монахи подходят поближе друг к другу, чтобы путь до соседа был те же две монетки, к примеру. Веревка движется. Монахам, живущим в монастыре, придется выходить и занимать места на дороге. Веревка вытекает. Открывая ворота монастыря, монахи могут накачивать воду в бочку, совершая работу.
Такая веревка тоже порвется на горизонте, это ясно.
Если же монахов в монастыре больше нет, то веревка порвется и без горизонта. Она прикреплена с обоих концов. Правда, если она прочна, то может остановить растяжение пространства. Скажем, если монахи крепко стоят на своем, больше двух монет за милю не платят, а без эстафеты бароны не могут: их отлучат от церкви. И пошлина стоит на месте.
Но пусть вблизи монастыря и вблизи города "гравитация" компенсирует растяжение. Ну, там можно заработать или субсидию получить, и поэтому купцы притягиваются к городу. Монахи вблизи города и вблизи монастыря бегают по фиксированной таксе. А вот в отдалении пошлину местные барончики собирают очень активно и она растет.
Обсудим, друзья, интересный вопрос про веревку, натянутую сквозь расширяющуюся Вселенную. Если она "там", скажем, закреплена, а Вселенная расширяется, то "здесь" веревка будет двигаться? И можно ли совершать работу, крутя ею здесь гончарный круг, например? А как быть с тем, что разбегание отдаленных областей может и быстрее света быть? Ведь скорость разбегания пропорциональная расстоянию (закон Хаббла), и запретов тут нет. Оно бы и ладно, но веревка-то движется в обычном смысле, и возникает тень парадокса.
Расширение пространства происходит сразу везде (где гравитация этот процесс не сдерживает). Если веревка легкая и не гравитирует, то она будет растягиваться при расширении пространства. И порвется.
Если веревка прочная и нерастяжимая, то она все равно порвется, если проходит через горизонт. Горизонт в данном случае — это такое расстояние, на котором скорость разбегания равна скорости света. Точно так же, как с черной дырой: из чего бы веревка ни была изготовлена, горизонт ее разрежет как бритва (об этом в другой раз расскажу, там есть нюансы). Потому что никакая связь не сможет связать частицы по сю и по ту сторону горизонта.
Предположение об абсолютно прочной абсолютно нерастяжимой веревке ведет к противоречию — но это проблема предположения. Ровно такой же парадокс возникает про всепробивающую стрелу и непробиваемый щит. Или про непромахивающегося Робина Гуда и Бориса Хренпопадешь.
Но да, веревка будет утекать и может совершать работу.
Давайте прибегнем к средневековой аналогии. Пусть за пределами городских стен взимается пошлина с путников и она каждый день растет. Путник не может взять с собой больше, чем 300 монет в сутки. Расстояние между точками на карте мы будем измерять в монетах. И оно, как видим, растет. Мы тоже частенько измеряем расстояние в часах на дорогу или в расходах на билеты, так что из Хабаровска в Корею дешевле через Москву, и это еще не самый парадоксальный случай.
Пусть вдоль дороги расставлены монахи, с дистанцией в одну милю. Такая эстафета. Отец-настоятель может быстро передать в город письмо, приложив к нему кошель с монетами: монах пробежит милю (заплатив пошлину), передаст пакет и кошель, и вернется. Так пакет быстро достигнет города. Не быстрее, чем мог бы пробежать монах, но монаху не пробежать триста монет за сутки. Сил не хватит. А по эстафете можно.
Это веревка. Из монахов. Они вроде частиц, из которых состоит веревка.
Однако цена растет, и миля становится все дороже. Монахи пробегают ту же милю, но в монетах это все больше и больше.
Веревка растягивается.
Если кошеля не хватит, письмо города не достигнет. Веревка порвалась на горизонте. Монахов, что ближе к городу, даже в монастырь уже не вернуть: суточных недостаточно. Более того, даже сообщение им не переправить.
Нерастяжимая веревка — это если монахи подходят поближе друг к другу, чтобы путь до соседа был те же две монетки, к примеру. Веревка движется. Монахам, живущим в монастыре, придется выходить и занимать места на дороге. Веревка вытекает. Открывая ворота монастыря, монахи могут накачивать воду в бочку, совершая работу.
Такая веревка тоже порвется на горизонте, это ясно.
Если же монахов в монастыре больше нет, то веревка порвется и без горизонта. Она прикреплена с обоих концов. Правда, если она прочна, то может остановить растяжение пространства. Скажем, если монахи крепко стоят на своем, больше двух монет за милю не платят, а без эстафеты бароны не могут: их отлучат от церкви. И пошлина стоит на месте.
Но пусть вблизи монастыря и вблизи города "гравитация" компенсирует растяжение. Ну, там можно заработать или субсидию получить, и поэтому купцы притягиваются к городу. Монахи вблизи города и вблизи монастыря бегают по фиксированной таксе. А вот в отдалении пошлину местные барончики собирают очень активно и она растет.
Привет, друзья! Здесь, на этом канале, я публикую научно-популярные заметки в разных рубриках. Это первая из рубрики "Вероятность и теория игр". Будут еще и другие. Некоторые заметки, как эта, перенесены из моего Дзен-канала, но будут и новые. Эта пока публичная, но первая же уникальная будет уже закрытой.
Обычно в математике есть правильное решение, и всё на том. Но вот пример "луковицы", в которой несколько слоев истины.
Предположим, что человек играет в такую игру: с равными шансами его капитал либо увеличивается на 10%, либо уменьшается на 10%. И так много-много раз. Каково среднее значение капитала за данное число шагов, например, за тысячу?
Наивное рассуждение таково. «Что такое равные шансы?» — спросит человек, немного знакомый с теорией вероятностей. Это на большом интервале доля исходов приблизительно равная. Стало быть, примерно пополам разделятся выигрыши и проигрыши. Так? А ведь выиграть и потом проиграть по 10% — это проиграть (1%). И в другом порядке — тоже (кстати, это само по себе может быть сюрпризом — проигрывать-то проще, чем выигрывать. В самом деле, (1-a)(1+a)<1, причем от порядка сомножителей результат, разумеется, не зависит.
Выходит, что за тысячу партий будет примерно по 500 пар «выиграл-проиграл», и на каждой теряем один процент — в общем, ничего радостного. Проиграет этот игрок все деньги.
Точное решение, однако, другое. За одну партию человек в среднем при своих — выигрыш и проигрыш равны по величине и шансы у них равные. Сыграв N партий, он имеет некоторое среднее X — а еще одна партия его не меняет. Далее по индукции получаем, что средний капитал равен начальному, то есть средний выигрыш — нуль.
Я специально не пишу детально — кто хочет, восстановит доказательство и получит удовольствие, а кто не хочет — на слово поверит.
Это решение точное, но правильным его не назовешь, и вот почему. Не поленитесь, напишите симулятор на вашем любимом языке программирования или в любимой электронной таблице. Увидите, как виртуальный игрок раз за разом спускает все деньги.
Давайте же выясним, в чем дело. А дело в траекториях. Тысяча партий порождает последовательность из нулей и единиц — траекторию. Все траектории имеют одну и ту же (очень маленькую) вероятность и приносят какой-то выигрыш, положительный или отрицательный. Вклад — это произведение выигрыша на вероятность. Среднее — сумма всех вкладов.
Так вот: некоторые траектории приносят очень много. Например, если все до единой партии выиграны. Или все, кроме одной — таких траекторий целая тысяча. Или две проиграны. Вклад таких траекторий значителен, хотя их суммарная вероятность невелика. А симметричные им траектории — например, если все партии проиграны — не компенсируют большой вклад своих напарниц. Если ты разорен на сотом, скажем, ходу — какая тебе разница, что будет дальше? Все траектории, в которых капитал упал в сто, скажем, раз и больше не поднялся, дают почти нулевой вклад.
На рисунке несколько траекторий, полученных на симуляторе в среде R. Голубая достигла ста: везучий игрок! Но тоже проиграл в итоге.
Итак, сравнительно большое среднее обусловлено вкладом очень редких, практически невозможных исходов. Правильным оказывается наивное рассуждение! Почти наверняка игрок разорится — хотя теоретически он должен в среднем остаться при своих.
Такой принцип часто встречается, но редко имеет такую четкую и практичную форму. Буду рад, если Вы подпишетесь на канал. До связи!
Привет, друзья! Здесь, на этом канале, я публикую научно-популярные заметки в разных рубриках. Это первая из рубрики "Вероятность и теория игр". Будут еще и другие. Некоторые заметки, как эта, перенесены из моего Дзен-канала, но будут и новые. Эта пока публичная, но первая же уникальная будет уже закрытой.
Обычно в математике есть правильное решение, и всё на том. Но вот пример "луковицы", в которой несколько слоев истины.
Предположим, что человек играет в такую игру: с равными шансами его капитал либо увеличивается на 10%, либо уменьшается на 10%. И так много-много раз. Каково среднее значение капитала за данное число шагов, например, за тысячу?
Наивное рассуждение таково. «Что такое равные шансы?» — спросит человек, немного знакомый с теорией вероятностей. Это на большом интервале доля исходов приблизительно равная. Стало быть, примерно пополам разделятся выигрыши и проигрыши. Так? А ведь выиграть и потом проиграть по 10% — это проиграть (1%). И в другом порядке — тоже (кстати, это само по себе может быть сюрпризом — проигрывать-то проще, чем выигрывать. В самом деле, (1-a)(1+a)<1, причем от порядка сомножителей результат, разумеется, не зависит.
Выходит, что за тысячу партий будет примерно по 500 пар «выиграл-проиграл», и на каждой теряем один процент — в общем, ничего радостного. Проиграет этот игрок все деньги.
Точное решение, однако, другое. За одну партию человек в среднем при своих — выигрыш и проигрыш равны по величине и шансы у них равные. Сыграв N партий, он имеет некоторое среднее X — а еще одна партия его не меняет. Далее по индукции получаем, что средний капитал равен начальному, то есть средний выигрыш — нуль.
Я специально не пишу детально — кто хочет, восстановит доказательство и получит удовольствие, а кто не хочет — на слово поверит.
Это решение точное, но правильным его не назовешь, и вот почему. Не поленитесь, напишите симулятор на вашем любимом языке программирования или в любимой электронной таблице. Увидите, как виртуальный игрок раз за разом спускает все деньги.
Давайте же выясним, в чем дело. А дело в траекториях. Тысяча партий порождает последовательность из нулей и единиц — траекторию. Все траектории имеют одну и ту же (очень маленькую) вероятность и приносят какой-то выигрыш, положительный или отрицательный. Вклад — это произведение выигрыша на вероятность. Среднее — сумма всех вкладов.
Так вот: некоторые траектории приносят очень много. Например, если все до единой партии выиграны. Или все, кроме одной — таких траекторий целая тысяча. Или две проиграны. Вклад таких траекторий значителен, хотя их суммарная вероятность невелика. А симметричные им траектории — например, если все партии проиграны — не компенсируют большой вклад своих напарниц. Если ты разорен на сотом, скажем, ходу — какая тебе разница, что будет дальше? Все траектории, в которых капитал упал в сто, скажем, раз и больше не поднялся, дают почти нулевой вклад.
На рисунке несколько траекторий, полученных на симуляторе в среде R. Голубая достигла ста: везучий игрок! Но тоже проиграл в итоге.
Итак, сравнительно большое среднее обусловлено вкладом очень редких, практически невозможных исходов. Правильным оказывается наивное рассуждение! Почти наверняка игрок разорится — хотя теоретически он должен в среднем остаться при своих.
Такой принцип часто встречается, но редко имеет такую четкую и практичную форму. Буду рад, если Вы подпишетесь на канал. До связи!
