Плюс/минус десять процентов...

Привет, ‎друзья!‏ ‎Здесь, ‎на ‎этом ‎канале, ‎я‏ ‎публикую ‎научно-популярные‏ ‎заметки‏ ‎в ‎разных ‎рубриках.‏ ‎Это ‎первая‏ ‎из ‎рубрики ‎"Вероятность ‎и‏ ‎теория‏ ‎игр". ‎Будут‏ ‎еще ‎и‏ ‎другие. ‎Некоторые ‎заметки, ‎как ‎эта,‏ ‎перенесены‏ ‎из ‎моего‏ ‎Дзен-канала, ‎но‏ ‎будут ‎и ‎новые. ‎Эта ‎пока‏ ‎публичная,‏ ‎но‏ ‎первая ‎же‏ ‎уникальная ‎будет‏ ‎уже ‎закрытой.

Обычно‏ ‎в‏ ‎математике ‎есть‏ ‎правильное ‎решение, ‎и ‎всё ‎на‏ ‎том. ‎Но‏ ‎вот‏ ‎пример ‎"луковицы", ‎в‏ ‎которой ‎несколько‏ ‎слоев ‎истины. ‎

Предположим, ‎что‏ ‎человек‏ ‎играет ‎в‏ ‎такую ‎игру:‏ ‎с ‎равными ‎шансами ‎его ‎капитал‏ ‎либо‏ ‎увеличивается ‎на‏ ‎10%, ‎либо‏ ‎уменьшается ‎на ‎10%. ‎И ‎так‏ ‎много-много‏ ‎раз.‏ ‎Каково ‎среднее‏ ‎значение ‎капитала‏ ‎за ‎данное‏ ‎число‏ ‎шагов, ‎например,‏ ‎за ‎тысячу?

Наивное ‎рассуждение ‎таково. ‎«Что‏ ‎такое ‎равные‏ ‎шансы?»‏ ‎— ‎спросит ‎человек,‏ ‎немного ‎знакомый‏ ‎с ‎теорией ‎вероятностей. ‎Это‏ ‎на‏ ‎большом ‎интервале‏ ‎доля ‎исходов‏ ‎приблизительно ‎равная. ‎Стало ‎быть, ‎примерно‏ ‎пополам‏ ‎разделятся ‎выигрыши‏ ‎и ‎проигрыши.‏ ‎Так? ‎А ‎ведь ‎выиграть ‎и‏ ‎потом‏ ‎проиграть‏ ‎по ‎10%‏ ‎— ‎это‏ ‎проиграть ‎(1%).‏ ‎И‏ ‎в ‎другом‏ ‎порядке ‎— ‎тоже ‎(кстати, ‎это‏ ‎само ‎по‏ ‎себе‏ ‎может ‎быть ‎сюрпризом‏ ‎— ‎проигрывать-то‏ ‎проще, ‎чем ‎выигрывать. ‎В‏ ‎самом‏ ‎деле, ‎(1-a)(1+a)<1,‏ ‎причем ‎от‏ ‎порядка ‎сомножителей ‎результат, ‎разумеется, ‎не‏ ‎зависит.‏ ‎

Выходит, ‎что‏ ‎за ‎тысячу‏ ‎партий ‎будет ‎примерно ‎по ‎500‏ ‎пар‏ ‎«выиграл-проиграл»,‏ ‎и ‎на‏ ‎каждой ‎теряем‏ ‎один ‎процент‏ ‎—‏ ‎в ‎общем,‏ ‎ничего ‎радостного. ‎Проиграет ‎этот ‎игрок‏ ‎все ‎деньги.

Точное‏ ‎решение,‏ ‎однако, ‎другое. ‎За‏ ‎одну ‎партию‏ ‎человек ‎в ‎среднем ‎при‏ ‎своих‏ ‎— ‎выигрыш‏ ‎и ‎проигрыш‏ ‎равны ‎по ‎величине ‎и ‎шансы‏ ‎у‏ ‎них ‎равные.‏ ‎Сыграв ‎N‏ ‎партий, ‎он ‎имеет ‎некоторое ‎среднее‏ ‎X‏ ‎—‏ ‎а ‎еще‏ ‎одна ‎партия‏ ‎его ‎не‏ ‎меняет.‏ ‎Далее ‎по‏ ‎индукции ‎получаем, ‎что ‎средний ‎капитал‏ ‎равен ‎начальному,‏ ‎то‏ ‎есть ‎средний ‎выигрыш‏ ‎— ‎нуль.

Я‏ ‎специально ‎не ‎пишу ‎детально‏ ‎—‏ ‎кто ‎хочет,‏ ‎восстановит ‎доказательство‏ ‎и ‎получит ‎удовольствие, ‎а ‎кто‏ ‎не‏ ‎хочет ‎—‏ ‎на ‎слово‏ ‎поверит.

Это ‎решение ‎точное, ‎но ‎правильным‏ ‎его‏ ‎не‏ ‎назовешь, ‎и‏ ‎вот ‎почему.‏ ‎Не ‎поленитесь,‏ ‎напишите‏ ‎симулятор ‎на‏ ‎вашем ‎любимом ‎языке ‎программирования ‎или‏ ‎в ‎любимой‏ ‎электронной‏ ‎таблице. ‎Увидите, ‎как‏ ‎виртуальный ‎игрок‏ ‎раз ‎за ‎разом ‎спускает‏ ‎все‏ ‎деньги.

Давайте ‎же‏ ‎выясним, ‎в‏ ‎чем ‎дело. ‎А ‎дело ‎в‏ ‎траекториях.‏ ‎Тысяча ‎партий‏ ‎порождает ‎последовательность‏ ‎из ‎нулей ‎и ‎единиц ‎—‏ ‎траекторию.‏ ‎Все‏ ‎траектории ‎имеют‏ ‎одну ‎и‏ ‎ту ‎же‏ ‎(очень‏ ‎маленькую) ‎вероятность‏ ‎и ‎приносят ‎какой-то ‎выигрыш, ‎положительный‏ ‎или ‎отрицательный.‏ ‎Вклад‏ ‎— ‎это ‎произведение‏ ‎выигрыша ‎на‏ ‎вероятность. ‎Среднее ‎— ‎сумма‏ ‎всех‏ ‎вкладов.

Так ‎вот:‏ ‎некоторые ‎траектории‏ ‎приносят ‎очень ‎много. ‎Например, ‎если‏ ‎все‏ ‎до ‎единой‏ ‎партии ‎выиграны.‏ ‎Или ‎все, ‎кроме ‎одной ‎—‏ ‎таких‏ ‎траекторий‏ ‎целая ‎тысяча.‏ ‎Или ‎две‏ ‎проиграны. ‎Вклад‏ ‎таких‏ ‎траекторий ‎значителен,‏ ‎хотя ‎их ‎суммарная ‎вероятность ‎невелика.‏ ‎А ‎симметричные‏ ‎им‏ ‎траектории ‎— ‎например,‏ ‎если ‎все‏ ‎партии ‎проиграны ‎— ‎не‏ ‎компенсируют‏ ‎большой ‎вклад‏ ‎своих ‎напарниц.‏ ‎Если ‎ты ‎разорен ‎на ‎сотом,‏ ‎скажем,‏ ‎ходу ‎—‏ ‎какая ‎тебе‏ ‎разница, ‎что ‎будет ‎дальше? ‎Все‏ ‎траектории,‏ ‎в‏ ‎которых ‎капитал‏ ‎упал ‎в‏ ‎сто, ‎скажем,‏ ‎раз‏ ‎и ‎больше‏ ‎не ‎поднялся, ‎дают ‎почти ‎нулевой‏ ‎вклад.

На ‎рисунке‏ ‎несколько‏ ‎траекторий, ‎полученных ‎на‏ ‎симуляторе ‎в‏ ‎среде ‎R. ‎Голубая ‎достигла‏ ‎ста:‏ ‎везучий ‎игрок!‏ ‎Но ‎тоже‏ ‎проиграл ‎в ‎итоге.

Итак, ‎сравнительно ‎большое‏ ‎среднее‏ ‎обусловлено ‎вкладом‏ ‎очень ‎редких,‏ ‎практически ‎невозможных ‎исходов. ‎Правильным ‎оказывается‏ ‎наивное‏ ‎рассуждение!‏ ‎Почти ‎наверняка‏ ‎игрок ‎разорится‏ ‎— ‎хотя‏ ‎теоретически‏ ‎он ‎должен‏ ‎в ‎среднем ‎остаться ‎при ‎своих.

Такой‏ ‎принцип ‎часто‏ ‎встречается,‏ ‎но ‎редко ‎имеет‏ ‎такую ‎четкую‏ ‎и ‎практичную ‎форму. ‎Буду‏ ‎рад,‏ ‎если ‎Вы‏ ‎подпишетесь ‎на‏ ‎канал. ‎До ‎связи!