Почему учёные никогда не смогут найти точного решения общей теории относительности
В ньютоновской теории тяготения орбиты вращения вокруг отдельных крупных масс являются идеальными эллипсами. Но в общей теории относительности существует дополнительная прецессия за счёт кривизны пространства-времени, из-за чего орбиты со временем сдвигаются, иногда даже измеряемо. Орбита Меркурия прецессирует со скоростью 43″ в сто лет (1″ – это угловая секунда, 1/3600 градуса); меньшая из чёрных дыр OJ 287 прецессирует со скоростью 39° за 12 лет орбиты.
Сложно оценить всю революционность перехода от ньютоновской точки зрения на Вселенную к эйнштейновской. Согласно ньютоновским механике и тяготению, Вселенная полностью детерминирована. Если бы вы дали учёному массы, местоположение и импульсы всех и каждой частиц Вселенной, он смог бы определить, где будет находиться и что будет делать каждая частица в любой момент в будущем.
В теории уравнения Эйнштейна тоже детерминистские, и можно представить нечто похожее: если бы только вы знали массы, позиции и импульс каждой частицы Вселенной, вы могли бы вычислить что угодно, заглядывая сколь угодно далеко в будущее. Но если в ньютоновской вселенной мы можем записать уравнения, управляющие поведением частиц, во вселенной под управлением общей теории относительности (ОТО) мы даже и на это не способны. И вот, почему.
Закон всемирного тяготения Ньютона заменила ОТО Эйнштейна. Он полагался на концепцию мгновенного действия на расстоянии, и был весьма простым. Гравитационная константа G в уравнении, а также величины двух масс и расстояние между ними – вот все факторы, определяющие гравитационное взаимодействие. G есть и в теории Эйнштейна.
В ньютоновской вселенной каждый массивный объект действует с хорошо определяемой силой тяготения на каждый другой объект вселенной. Можно определить гравитационное взаимодействие между каждой парой существующих масс, а потом просто подсчитать ньютоновское тяготение. Эта сила также расскажет, как именно будет двигаться масса (поскольку F = ma), и так вы сможете определить эволюцию вселенной.
Но в ОТО эта задача куда как сложнее. Даже если бы вы обладали той же самой информацией – местоположением, массами и импульсами всех частиц – а также конкретной релятивистской системой отсчёта, в которой они определены, этого не хватило бы для описания эволюции вселенной. Структура величайшей теории Эйнштейна слишком сложна даже для этого.
Вместо пустой трёхмерной решётки размещение масс заставляет “прямые” линии изгибаться определённым образом. В ОТО пространство и время считаются непрерывными, но все формы энергии, в т.ч. масса, вносят свой вклад в кривизну пространства-времени. Если мы заменим Землю её более плотной версией, вплоть до появления сингулярности, деформация пространства-времени останется точно такой же; и только внутри самой Земли будут заметны отличия.
В ОТО движение и ускорение объекта определяет не суммарная сила, действующая на объект, а кривизна пространства (и пространства-времени). И это сразу становится проблемой, поскольку кривизну пространства определяет вся материя и энергия, имеющаяся во Вселенной, и в эту информацию входит куда как больше, чем просто позиции и импульсы массивных частиц.
В ОТО, в отличие от ньютоновской гравитации, взаимодействие всех масс также имеет значение: поскольку у него также есть энергия, оно также деформирует ткань пространства-времени. Если взять два массивных объекта, движущихся и ускоряющихся друг относительно друга, этот процесс также будет излучать гравитационные волны. Это излучение идёт не мгновенно, а распространяется наружу во все стороны со скоростью света. И этот фактор невероятно трудно учесть.
Гравитационные волны – это волны пространства-времени, и они распространяются в пространстве со скоростью света во всех направлениях. И хотя электромагнитные константы не появляются в уравнениях ОТО, скорость гравитации без сомнения равняется скорости света.
Если вы с лёгкостью можете записать уравнения, управляющие любой системой, какую вы только можете представить в ньютоновской вселенной, даже этот шаг будет невероятно трудным во вселенной, управляемой ОТО. Поскольку так много всего влияет на искривление и эволюцию пространства во времени, мы часто даже не можем записать уравнения, описывающие форму простейшей, игрушечной модели вселенной.
Возможно, наиболее ярким примером будет простейшая, игрушечная модель вселенной: пустая, без материи и энергии, не меняющаяся во времени. Это вполне возможно, и этот особый случай даёт нам старую добрую и простую особую теорию относительности и плоское евклидово пространство. Это простейший и наименее интересный случай из возможных.
Плоское пустое пространство без материи, энергии и кривизны. За исключением небольших квантовых флуктуаций, пространство в инфляционной Вселенной становится таким, невероятно плоским, только не на двумерной плоскости, а в трёхмерном пространстве. Пространство растягивается, уплощаясь, и частицы быстро разбегаются.
Сделаем шаг в сторону усложнения: возьмём точечную массу и поместим её куда-нибудь во вселенной. И внезапно пространство-время становится чрезвычайно сложным.
Вместо плоского евклидового пространства мы получим искривлённое пространство, вне зависимости от того, насколько далеко мы отойдём от массы. А чем ближе мы будем подходить, тем быстрее пространство будет “стекать” по направлению к местоположению этой точечной массы. Мы обнаружим определённое расстояние, на котором мы найдём горизонт событий: точку невозврата, откуда нельзя сбежать, даже двигаясь со скоростью, сколь угодно близкой к скорости света.
Пространство-время гораздо сложнее пустого пространства, а мы всего лишь добавили одну массу. И это было первое точное нетривиальное решение, открытое для ОТО: формула Шварцшильда, соответствующая невращающейся чёрной дыре.
Как внутри, так и снаружи горизонта событий шварцшильдовской чёрной дыры пространство течёт как травалатор или водопад. На горизонте событий, даже если вы будете бежать (или плыть) со скоростью света, поток пространства-времени преодолеть не получится, и он затянет вас в сингулярность в центре. Снаружи горизонта событий другие силы (например, электромагнетизм) часто могут справиться с гравитационным притяжением, и заставить даже падающую внутрь материю убежать.
За последнее столетие было найдено множество других точных решений, но они оказались незначительно сложнее. Среди них:
• Решения для идеальной жидкости, где энергия, импульс, давление и напряжение жидкости определяют пространство-время.
• Электровакуумные решения, где могут существовать гравитационное, электрическое и магнитное поля (но не массы, электрические заряды или токи).
• Решения со скалярными полями, включающими космологическую константу, тёмную энергию, инфляционные варианты пространства-времени, и модели космологической квинтэссенции.
• Решения с одной вращающейся точечной массой (Керр), заряженной (Рейснер-Нордстром) или вращающейся и заряженной (Керр-Ньюман).
• Жидкостные решения с точечной массой (пространство Шварцшильда-де Ситтера).
Вы могли заметить, что эти решения чрезвычайно просты, и среди них нет простейшей гравитационной системы, которую мы постоянно рассматриваем: Вселенную, в которой две массы гравитационно связаны друг с другом.
ОТО подвергали научным испытаниям бессчётное множество раз и накладывали на неё самые строгие ограничения из всех, использованных человеком. Первым решением Эйнштейна было вычисление ограничения слабого гравитационного поля вокруг единственной массы, такой, как Солнце; он применил эти результаты к нашей Солнечной системе с потрясающим успехом. Эту орбиту можно рассматривать так, будто Земля (или любая другая планета) в свободном падении движется вокруг Солнца по прямой линии в своей системе отсчёта. Все массы и источники энергии вносят вклад в кривизну пространства-времени, однако мы можем вычислить орбиту Земли и Солнца лишь приблизительно.
Эту задачу – задачу двух тел в ОТО – нельзя решить точно. Не существует точного аналитического решения для пространства-времени, содержащего более одной массы, и считается, что такое решение нельзя найти (хотя это пока, насколько мне известно, не доказано).
Мы лишь можем делать предположения, и либо делать определённые приближения к точному результату (постньютоновский формализм) или изучать определённую форму задачи и пытаться решить её численно. Развитие науки численной относительности, особенно начиная с 1990-х, позволило астрофизикам подсчитать и определить образцы различных типов гравитационных волн Вселенной, включая приблизительные решения задачи для слияния двух чёрных дыр. И любая фиксация волн на LIGO или Virgo возможна благодаря наличию этих теоретических работ.
Волновой гравитационный сигнал первой пары обнаруженных коллаборацией LIGO сливающихся чёрных дыр. Невероятно, насколько хорошо совпадают сырые данные и теоретические шаблоны, демонстрирующие нам волновую последовательность. Для получения теоретических шаблонов потребовалось невероятное развитие численной относительности.
Учитывая всё это, существует огромное количество задач, которые мы можем хотя бы приблизительно решить, пользуясь тем поведением или теми решениями, которые мы можем понять. Мы можем описать происходящее в негомогенной части Вселенной, остальная часть которой является гладкой и заполненной жидкостью, чтобы узнать, каким образом растут регионы с повышенной плотностью и сжимаются регионы с пониженной плотностью.
Мы можем понять, как поведение решаемой системы отличается от ньютоновской гравитации, а потом применить эти уточнения к более сложной системе, которую, возможно, нельзя решить в лоб.
Или мы можем разработать новые численные методы для решения проблем, неприступных с теоретической точки зрения; такой подход имеет право на жизнь, пока гравитационные поля относительно слабы (пока мы не приближаемся слишком близко к слишком большой массе).
В ньютоновском представлении о гравитации пространство и время – абсолютные и фиксированные величины. В представлении эйнштейновского пространства-времени – это единая объединённая структура, в которой неразрывно переплетаются три пространственных и одно временное измерение.
И всё же ОТО бросает нам несколько уникальных вызовов, отсутствующих в ньютоновской вселенной. Факты таковы:
• Кривизна пространства постоянно меняется.
• У каждой массы есть своя энергия, также меняющая кривизну пространства-времени.
• Движущиеся через искривлённое пространство объекты взаимодействуют с ним и испускают гравитационное излучение.
• Все появляющиеся гравитационные сигналы всегда движутся со скоростью света.
• Скорость объекта относительно любого другого объекта приводит к релятивистской трансформации (сжатие длины, растяжение времени), которую необходимо учитывать.
Учтя всё это, в большей части вариантов пространства-времени, которые вы сможете придумать, даже в относительно простых, описывающие их уравнения получатся настолько сложными, что мы не сможем найти их решений.
Анимация реакции пространства-времени на движение массы показывает, что пространство-время – это не просто некий лист ткани; всё пространство целиком искривляется в присутствии материи и энергии. При этом пространство-время можно описать полностью, учитывая не только положение массивного объекта, но и его движение во времени. Силы, действующие на объект, движущийся сквозь Вселенную, определяются как его текущим местоположением, так и историей его перемещения.
Один из наиболее ценных жизненных уроков я получил в первый день первого математического курса в колледже, где мы изучали дифференциальные уравнения. Профессор сказал нам: “Большую часть существующих дифференциальных уравнений решить нельзя. Большую часть дифференциальных уравнений, которые можно решить, вы решить не сможете”. Такова и ОТО – набор спаренных дифференциальных уравнений, и сложности, с которыми сталкиваются все, её изучающие.
Мы даже не можем записать уравнения поля Эйнштейна. Описывающие большую часть вариантов пространства-времени или большую часть вселенных, которые мы можем себе представить. А большинство из тех, что мы можем записать, мы не можем решить. А большинство из тех, что мы можем решить, не можем решить ни я, ни вы, и ни кто-либо ещё. Однако мы можем работать с приближениями, позволяющие нам получать осмысленные предсказания и описания. И в целом это наибольшее приближение к истине, достигнутое кем-либо – хотя путь до цели ещё очень долгий. И пусть мы не будем сдаваться, пока не дойдём до неё.
Vkontakte
Twitter
Одноклассники
