Числа, физические величины и протяжённость
Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека
(Леопольд Кронекер)
В физике общепринято характеризовать свойства объектов физическими величинами. Они выражаются числами. Число обозначает количество физической величины. Числа человеку изначально известны натуральные, потом появились понятия нуля и чисел отрицательных, дробных-рациональных, дробных-иррациональных, комплексных, … Рассмотрим вопрос, как различные типы чисел могут выражать физические величины.
Как представляется, количество физической величины в обзем случае может быть как целым, так и дробным — у человека есть базовое представление о непрерывности и протяжённости, на котором и основана идея о действительных числах. Поэтому действительные числа уместно использовать в физических рассуждениях. При этом представление о протяжёности — действительно базовое и не сводится к понятию «точка». Хорошее объяснение этому даёт В. Г. Катющик в [КАТ/ГРВ]. Точка, по определению, имеет нулевые размеры, а сколько нулей ни складывай — результат будет всё равно нулевой. И бесконечное складывание тут не поможет — см. предыдущее предложение. Поэтому ни из какого количества точек нельзя получить протяжённость. Этот важный вывод понадобится нам в дальнейшем, при обсуждении общей теории относительности.
А вот отрицательных количеств в природе быть не может — это несовместимо с интуитивным представлением о количестве. Количество чего-либо может быть только положительным. Отрицательное число (или знаковое число) — это составное понятие. Оно состоит из понятия беззнакового числа, и присоединённого к нему понятия знака (плюс/минус). В физике необходимо (а не просто можно, как в математике) различать в множестве действительных чисел три части: положительные, отрицательные и ноль. Отрицательные физические величины на самом деле являются величинами, описывающими несколько другое явление. Например, отрицательная величина перемещения физически означает беззнаковую величину перемещения в противоположном направлении. Нулевое перемещение — это на самом деле не перемещение, а состояние покоя. С физической точки зрения знак физической величины — это просто маркёр принадлежности к разным множествам сущностей, можно было бы для этого использовать любой другой символ. Если, на первый взгляд кажется, что для какой-то величины (например, энергии) принципиально возможно произвольно выбрать нулевой уровень отсчёта, то при более внимательном рассмотрении окажется, что в каждой конкретной задаче выбор нулевого уровня делается не произвольно, а по какому-то критерию, относительно которого разные знаки величины приобретают разный физический смысл, например, свободные и связанные состояния электронов в атоме.
По поводу комплексных числел некоторые, по аналогии с отрицательными числами утверждают их нереальность, а также нереальность и более сложных конструкций, например кватернионов. Но я считаю, что в данных случаях полная аналогия с отрицательными числами неуместна и вопрос более сложный. Существует физическое пространство, а в нём существует непрерывное многообразие направлений, которое напрямую к понятию числа не сводится. Поэтому представляется естественным рассматривать, например, комплексные числа состоящими из двух частей: беззнаковая амплитуда и часть, отвечающая за направление (фаза). Обе эти части следует признать существующими в природе. Таким образом, комплексная физическая величина, описывающая положение на плоскости с физической точки зрения является комплексом величин. Аналогичное решение стоит принять и для кватернионов, задающих вращение в трёхмерном пространстве: разделить их также на две части: амплитудную и «направленческую», которая в данном случае одним числом уже не выражается. Впрочем, для некоторых типов комплексных величин действительно можно сказать, что они в природе не существуют. Например, комплексные корни квадратного уравнения свидетельствуют о том, что это уравнение не имеет решения и описываемый с помощью него физический процесс невозможен в том виде, в котором его пытаются описать. Но при этом может быть возможен какой-то другой процесс, который таким образом описать можно. Пример: апериодические и колебательные переходные процессы в электрических цепях или иных линейных системах, в зависимости от их параметров, могут описываться экспонентами с действительными и комплексными аргументами соответственно.
Таким образом, я не считаю необходимым строго следовать «букве» первого закона логики и ограничивать понятие «число» только неотрицательными действительными числами. Абстрактное понятие числа можно оставить в том виде, в котором оно есть сейчас, потому что это удобно для единообразного выполнения математических операций и в конечном итоге для описания объектов реального мира. Тем не менее будем помнить, что не всё множество абстрактных чисел можно напрямую отразить в физические величины. После выполнения математических вычислений над физическими величинами всегда необходимо находить путь перехода от математических абстракций в физическую реальность, на основании физических соображений.
Также интересно рассмотреть вопрос, обозначенный в эпиграфе: может ли мир фундаментально описываться только целыми числами? Ведь пространство непрерывно. В принципе это возможно, следующим образом. Рассмотрим преобразование Фурье. Оно ставит в соответствие периодической непрерывной функции счётное множество чисел — ряд Фурье. Этот ряд можно ограничить по количеству членов и функция-прообраз всё равно останется непрерывной. Преобразование может быть многомерным. В итоге можно получить отображение дискретного и даже конечного множества чисел (частот) в непрерывное поле. Так что можно представить, что мир первично существует в частотной области, а пространство и всё что в нём находится — это вторичные проявления. Это согласуется с некоторыми эзотерическими представлениями о том, что фундаментально мир состоит из набора «вибраций» разных частот. Пространство у нас в итоге получилось не бесконечным, но бесконечно-периодическим. Живущим внутри него оно будет представляться неограниченным, но замкнутым по всем направлениям. Так что, если висеть в открытом космосе и достаточно долго смотреть вдаль в достаточно мощный телескоп, то можно увидеть свой затылок. При этом метрика пространства может быть абсолютно Евклидовой. В нашей Вселенной мы можем эту замкнутость не замечать, потому что заметить бесконечную повторяемость трёхмерного расположения галактик, наверное, непростая задача. К тому же можно применить более сложные преобразования, чем Фурье, дающее период не в виде куба, а другого многогранника или в виде проективного шара — шара, у которого противоположные точки считаются тождественными, Заметить периодичность во Вселенной с такой неопределённостью формы ещё более сложно. С учётом ещё и того, что неизвестно, наблюдаема уже эта периодичность или ещё нет — если время жизни Вселенной ограничено, то свет мог ещё не успеть пройти её период. Пока в нашей модели полной дискретности нет — сами значения частот остались действительными числами. Но можно ограничить их разрядность и представить их в виде чисел с плавающей запятой. Если разрядность будет достаточно большой, то на текущем уровне развития техники эффекты дискретизации могут быть и не заметны.