Различные формы записи уравнений динамики, законы сохранения

Когда дела идут хорошо, что-то должно случиться в самом ближайшем будущем.

(Законы Мерфи: второй закон Чизхолма)

После открытия понятий «энергия» и «мощность» появились различные возможности записи уравнений динамики на основе второго закона Ньютона. Хотя ещё Эйлер использовал в своей «Аналитической механике» выражения вида: m∙v∙dv = F∙ds, где в левой части фактически стоит дифференциал кинетической энергии.

Всего у нас имеются следующие величины: время (t), масса (m), положение (s), скорость (v), ускорение (a), сила (F), импульс (p), кинетическая энергия (E), мощность (N). Ранее мы приняли, что в случае больших скоростей, близких к скорости света (т.н. «релятивистский случай»), определения всех этих величин не изменяются, всё необычное заключается в связях между ними (формулах).

Ниже для простоты рассмотрено движение только в одном направлении. Формулы принципиально не изменяют свой вид и при движении в пространстве, при этом силы, скорости и перемещения надо считать векторными величинами, а знак их умножения «∙» — скалярным произведением векторов.

Итак, можно выделить следующие формы записи уравнений движения.

Силовая форма (скорость, импульс, сила, время).

Подставим в уравнение второго закона Ньютона определение ускорения: a = dv/dt и перенесём dt в правую часть. Получим:

m∙dv =d(m∙v) = dp = F(t)∙dt

ds = v(t)∙dt

Эта форма полезна, когда известна зависимость силы от времени. В фундаментальных физических задачах такая зависимость, как правило неизвестна, а известна зависимость только от положения (и, возможно, от скорости). Вообще считается, что явной зависимости фундаментальных сил от времени быть не может — это отражает базовое положение философии науки о том что законы природы вечны и неизменны (впервые явно сформулированное Рене Декартом). Однако в некоторых прикладных задачах источник воздействия на тело можно считать бесконечно-мощным, так что противодействием на него исследуемого тела можно пренебречь. В этом случае зависимость F(t) может быть задана явно. Ещё есть случаи, когда сила постоянна или её можно считать приблизительно постоянной для решаемой задачи.Например сила сухого трения или сила тяжести вблизи большого тела (Земли) на небольших перемещениях. В этом случае неважно что она определяется в функции времени.

Из вышеизложенного следует, что для релятивистского случая силовая форма не может подходить, т. к. там, по-определению, источник воздействия нельзя считать бесконечно-мощным по сравнению ни с каким массивным телом.

Из этой формы записи следует закон сохранения импульса. Действительно, малое измерение импульса тела (dp) равно произведению действующей на него силы на малый интервал времени её действия (F∙dt). Эту величину называют «импульс силы». Сила может возникнуть от взаимодействий с другими телами. В силу третьего закона Ньютона, на другие тела действует сила противодействия от исследуемого тела, в обратном направлении, и за время dt она изменяет их суммарный импульс на ту же величину в обратном направлении (-dp). В итоге, если рассматривать общую систему из исследуемого тела и взаимодействующих с ним тел, то суммарный импульс всей этой системы остаётся неизменным.

Энергетическая форма (энергия, скорость, сила, положение).

Эта форма получается если уравнение второго закона Ньютона домножить слева и справа на ds и представить a = dv/dt аналогично предыдущему случаю. Получим:

m∙dv/dt∙ds = F(s)∙ds

или

m∙dv∙v = F(s)∙ds

Последнее уравнение удобно решать, внеся v под знак дифференциала dv: v∙dv = d(v²/2). В итоге в науке приняли форму записи этого уравнения с использованием понятия о кинетической энергии E = m∙v²/2. Тогда последнее уравнение принимает вид:

dE = F(s)∙ds,

В энергетической форме уравнения время явно не присутствует и зависимость от времени не определяется — только от положения.

Из этой формы записи следует закон сохранения энергии. Рассуждения здесь в целом аналогичны закону сохранения импульса. Малое измерение энергии исследуемого тела (dE) равно произведению силы на малый интервал пути (F∙ds). Эту величину называют «работа силы», которую обычно обозначают буквой A (или dA в случае малых приращений пути). Сила может возникнуть от взаимодействий с другими телами. В силу третьего закона Ньютона, на другие тела должна действовать сила противодействия от исследуемого тела, в обратном направлении, и за на том же пути ds она должна изменить их энергию на ту же величину в обратном направлении (-dE).

Однако далее в рассуждении есть отличие от закона сохранения импульса. Существуют физические сущности, которые могут действовать на тела силами и, следовательно, передавать им некоторую энергию, но мы в настоящее время не можем локализовать в пространстве какие-то движения в этих сущностях, которым можно было бы приписать кинетическую энергию. Эти сущности являются особым видом материи и их в общем называют «физические поля» (в частности: «гравитационное поле», «электромагнитное поле» и пр.). Эта материя, в отличие от обычных тел, распределена в пространстве и мы её непосредственно наблюдать не можем, так, как обычные тела. Мы можем только косвенно догадываться о её существовании по силам, с которыми она действует на тела. Поэтому принято не называть энергию этой материи «кинетическая». Её называют «потенциальная энергия» — энергия взаимодействия поля с исследуемым телом или потенциальная энергия исследуемого тела в поле. Эти две различные формулировки возможны потому, что мы в настоящее время не знаем устройство этой материи и поэтому не можем указать на то место в пространстве, где находится потенциальная энергия: внутри тела или вне его.

Но в любом случае, если рассматривать общую систему из исследуемого тела и взаимодействующих с ним сущностей, то суммарная энергия всей этой системы остаётся неизменной. При этом возможны процессы в любом направлении: как переход потенциальной энергии в кинетическую, так и наоборот.

Импульс ещё называют «количество движения». Юдин С. Н., на работы которого я ссылаюсь в этой книге, спорит с этим […] и считает, что понятие «количество движения» следовало бы связать с кинетической энергией. С этим трудно согласиться по следующим причинам:

• Интуитивно понятие «движение» связывается со скоростью, которой пропорционален импульс, а не с квадратом скорости, которому пропорциональна кинетическая энергия.
• Исторически понятие «количество движения» уже закреплено за импульсом, а менять значение слов — плохая практика с точки зрения логики, если только слово употреблено не в явном противоречии с его обычным смыслом. В случае с импульсом это, на мой взгляд, выполняется (см. первую причину).

Мощностная форма (мощность, сила, скорость, время)

Понятие «мощность» в физику ввёл Джеймс Уатт ещё в конце 18 века, и с тех пор это понятие активно используется при решении различных физических задач. Однако мощностной подход к составлению уравнений динамики, как ещё один, в ряду с энергетическим и силовым, впервые ввёл сравнительно недавно С. Ю. Юдин [ЮД/МОП].

Разделим уравнение динамики в энергетической форме на dt. Получим:

dE/dt = F(s)∙ds/dt

или

dE = F(t)∙v(t)∙dt = N(t)∙dt,

где N — суммарная мощность всех сил, действующих на тело.

Видно, что при таком подходе интегрирующая переменная меняется с координаты на время. Однако в отличие от силового подхода, это не ограничивает применение мощностного подхода только к прикладным задачам. Мощность фундаментальной силы может зависеть от времени, т. к. в ней неявно присутствует скорость движения тела.

В отличие от силового подхода, мощностная форма позволяет описывать системы, где затруднительно непосредственно определить формулы для сил или силы прилагаются к разным участкам тела или действуют процессы различной физической природы.

Наглядным примером полезности мощностного подхода является задача о качении колеса по поверхности с трением. Традиционно в учебниках трение качения представляют в виде единой «силы трения качения», приложенной «где-то» в пятне контакта колеса с дорогой и направленной так, чтобы создавать крутящий момент в сторону, обратную движению. Но это практически бессмысленное представление, потому что формулу для этой силы мы непосредственно записать не можем. На самом деле непосредственно нам может быть доступно распределение давлений в пятне контакта и распределение скоростей скольжения точек поверхности колеса в пятне контакта в процессе его прокатывания. Интегрируя эти распределения мы можем найти суммарную мощность, рассеиваемую на трение в пятне контакта. Затем мы можем поделить эту мощность на скорость качения колеса и получить силу противодействия качению. Эта операция не обязательна, если нам надо знать, например, требуемую мощность двигателя транспортного средства для преодоления трения качения. Мощность, рассеиваемую на трение качения мы уже получили до этого. Данная зачача подробно рассмотрена С. Ю. Юдиным в [ЮД/ДИСС].