О скрытых параметрах, парадоксе ЭПР и тереме Белла
«Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит»
(Фраза приписывается М. В. Ломоносову, но это не доказано)
Для полноты картины, вначале стоит кратко изложить историю вопроса. При разработке квантовой теории (1920-е годы) в научной среде возник вопрос об интерпретации её вероятностной сущности: это свидетельство неполноты описания квантовой теорией реального мира (существует некая более фундаментальная реальность с вполне определёнными микрообъектами, имеющими свои характеристики), либо квантовая теория — это и есть самое фундаментальное описание, и ничего более фундаментального, чем её волновые функции в природе нет. Этот вопрос принято формулировать как т. н. «проблему скрытых параметров»: в физической системе, возможно, имеются некоторые «скрытые параметры», классического вида, которые не описываются квантовой механикой (она даёт только статистическое описание) и возможна более совершенная теория, в которой эти параметры будут присутствовать.
Альберт Эйнштейн выступал за наличие скрытых параметров, а Нильс Бор — за их отсутствие. По этому поводу между ними много лет происходил известный в истории физики публичный спор, на конференциях и в печати.
Самым ярким эпизодом этого спора стала известная статья Эйнштейна, Подольского и Розена: «Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным?» [ЭПР/КМП]. Конкретно в статье было подвергнуто критике соотношение неопределённостей в квантовой механике, которое является одним из её существенных положений, как вероятностной теории. Это соотношение, в одной из форм, утверждает невозможность одновременного знания со сколь угодно высокой точностью координаты и импульса частицы. Произведение неопределённостей знания этих величин всегда будут порядка постоянной Планка (точный коэффициент при ней нам сейчас не важен) или более. В статье был предложен мысленный эксперимент, опровергающий это (далее — «эксперимент ЭПР»). Если представить себе распад некоторой частицы на две, то измерив координату одной частицы мы будем знать и координату второй (она улетит в противоположном направлении по закону сохранения импульса), а измерив импульс второй частицы мы будем знать и импульс первой (опять-таки, по закону сохранения импульса). Эти измерения могут проводиться с теоретически неограниченной точностью и без влияния измерений друг на друга, однако квантовая механика об этой возможности ничего «не знает». Следовательно она не полностью описывает реальность. Отметим, что эксперимент ЭПР назван «парадоксом» сторонниками квантовой механики. Согласно классическим представлениям, естественно, никакого парадокса здесь нет.
Нильс Бор в своей ответной статье с таким же названием [БОР/КМП] отмечает, что квантовая механика правильно описывает наблюдаемые явления, а с точки зрения квантовой механики частицы-продукты распада не существуют по отдельности в реальности до того, как произошла процедура их измерений. Однако и в статье Эйнштейна и др. реальность продуктов распада до измерения тоже никак не доказывается и считается «само собой разумеющейся».
Таким образом, суть разногласий в том, что поклонники и критики квантовой механики по-разному понимают реальность. Для поклонников квантовой механики реальностью считаются только результаты измерений, а до этого в каком-то смысле «существуют» только волновые функции, в т. ч. могущие описывать связанные состояния нескольких частиц, сколь угодно разнесённых в пространстве. Эти волновые функции мгновенно «коллапсируют» при измерениях. И считается, что здесь нет противоречия теории относительности с её ограничением на скорость передачи взаимодействий — в квантовой теории можно доказать, что на основе этого процесса невозможна передача информации. Для сторонников традиционных классических представлений естественно думать, что объекты реально существуют и до их измерения.
На основе современных данных, я бы сказал, что оба лагеря частично правы, а частично нет, но об этом подробнее будет позже.
Таким образом, теоретически спор неразрешим (на что указал ещё Бор в своём ответе). А эксперимент ЭПР провести очень трудно. Только спустя много лет (в 1956 г.) Дэвид Бом предложил видоизменить этот эксперимент таким образом чтобы сделать его более реализуемым: регистрировать не координату и импульс, а дискретные величины, например знаки проекции спинов двух частиц-продуктов распада (далее — «эксперимент ЭПР-Бома»). Это могут быть, например, два электрона с противоположными спинами или два фотона с противоположными поляризациями. Далее для краткости направление спина или поляризации будем называть общим словом «поляризация». Выше было классическое описание, а с точки зрения квантовой механики эта пара частиц находится в особом, т. н. «запутанном» состоянии, пока её не зарегистрировать. Строго говоря, эксперимент ЭПР-Бома не может считаться полным эквивалентом эксперимента ЭПР (об этом ниже).
В 1964 г. Джон Стюарт Белл в своей знаменитой статье [БЕЛЛ/ЭПР] предложил статистические неравенства, которые можно было бы проверить в эксперименте ЭПР-Бома. Пусть мы регистрируем направления поляризаций частиц-продуктов распада двумя поляризационными детекторами, дающими бинарные величины направлений: +1 и -1. Поляризационные детекторы можно располагать в трёх разных направлениях: a, b, и c. Примем, что поперечные оси координат детекторов однонаправлены, поэтому знаки проекций поляризаций частиц 1 и 2 надо считать противоположными. Из серий значений случайных величин A, B, C от детекторов в соответствующих поляризациях можно вычислить их статистические попарные ковариации: E(А, B), E(B, C) и E(A, C) (здесь и далее мои обозначения отличаются от обозначений Белла и близки к общепринятым современным в теории вероятностей). Между этими ковариациями Белл вывел следующее соотношение, которое должно выполняться исходя из классических представлений:
| E(A, B) — E(B, C) | ≤ 1 + E(A, C)
В квантовой механике можно показать, что это неравенство в общем случае не выполняется для произвольных трёх направлений поляризационных детекторов. Это и является содержанием т. н. «теоремы Белла». Таким образом, теорема Белла утверждает, что любая классическая теория, которая признаёт, что реально существуют две частицы — продукты распада и у них есть соответствующие вполне определённые вектора поляризаций, должна приводить к корреляционному соотношению, представленному выше.
Интересно отметить, что теорема Белла не отсекает вообще любые теории со скрытыми параметрами, а только некоторый их класс: такие, где имеются вполне определённые значения поляризаций. Сам Белл в своей статье показал, что если каждая из поляризаций имеет случайную составляющую, то противоречия между классическим и квантовомеханическим описанием не возникает. Это обстоятельство, почему-то, осталось малоизвестным. Впрочем, в настоящее время это уже не имеет большого значения, как будет ясно из дальнейшего изложения.
После того, как работа Белла получила широкую известность, на неё обратили внимание математики и довольно быстро обнаружили ошибку в выводе этого неравенства. В статье [АЮХ/НБ] представлена библиография ссылок на эти работы а также общее описание ошибки. Но математики публиковали свои результаты — естественно в математических журналах, а физики их читают плохо, как и математики — физические. Это общая проблема современной науки — слишком узкая специализация. Поэтому, эта ошибка физическим сообществом вовремя не была воспринята и успела проникнуть в обширную физическую литературу и в учебники. По-видимому, она в должной мере не воспринята физиками и до сих пор.
Белл неверно работал с вероятностями. Вообще теория вероятностей — довольно-таки коварная теория. В некоторых своих частях она контринтуитивна не хуже, чем квантовая механика: сделать логическую ошибку там очень легко.
Белл определил ковариацию между бинарными величинами A и B (со значениями +/-1) в зависимости от их набора скрытых параметров (Л) следующим образом:
⌠
E(А,B) = ⎮ p(Л)·А(а,Л)·B(b,Л)·dЛ
⌡Л
где:
p(Л) — плотность вероятностного распределения скрытых параметров.
Однако оперировать единым распределением p(…) в данном случае неправильно. В каждом опыте будет своё попарное распределение p(…) двух случайных величин и оно неизбежно должно зависеть не только от Л, но и от ориентаций детекторов: a, b или c. Иначе получится. что частицы взаимодействуют с детекторами без учёта своей поляризации. Поэтому в выражениях для ковариаций E(A, B), E(В, C), E(С, A) должны быть свои распределения p(Л, a, b), p(Л, b, c), p(Л, c, a) соответственно. И поэтому не получится производить с ковариациями те математические операции, которые проделал Белл, вынося общее p(Л) за скобки. Белл неявно допустил, что если у трёх случайных величин A, B, C есть попарные вероятностные распределения, то у них есть единое вероятностное распределения для всех их трёх. Однако, ещё за 100 лет до Белла, в 19 в. Джон Буль — создатель булевой алгебры, показал, что в общем случае это невозможно, если нарушается статистическое неравенство, которое он вывел и которое как раз и совпадает с неравенством Белла.
Таким образом, «теорема Белла» на самом деле даёт условия, когда три поляризации для двух частиц могут быть измерены в одном опыте. Тут можно опять поблагодарить Капитана Очевидность — естественно измерить три поляризации двумя детекторами в одном опыте невозможно в принципе. И были проведены эксперименты, показывающие с большей или меньшей достоверностью, что эти неравенства действительно нарушаются.
Ещё стоит отметить, что в другой работе [АНД/КНБ] сделано уточнение вывода [АЮХ/НБ] — где именно ошибся Белл, а также проведён строгий вывод неравенств для случая Белла и подобного ему случая Белла-Клаузера-Хорне-Шиффера-Хольта. Полученные неравенства, названы «корреляционные неравенства Белла». И они, по самому своему построению, имеют вид тождеств, которые должны выполняться всегда, на любых реальных статистических данных.
Интересно также то, что для оригинального эксперимента ЭПР можно было бы оперировать едиными вероятностями p(…), т. к. частицы неполяризованные и функции p(…) фактически оказываются идентичными. В [АЮХ/НБ] показано, что для эксперимента ЭПР возможно представить квантово механическую корреляционную функцию пары частиц «запутанных» по координате и импульсу, как функцию от двух классических случайных процессов, соответствующих двум разлетающимся частицам. Таким образом, для эксперимента ЭПР можно построить классическую модель со скрытыми параметрами. В очередной раз Капитан Очевидность нас не подвёл.
В итоге, теорема Белла сейчас имеет для физики только историческое значение. Вместе с тем, по законам логики, опровержение аргумента не означает опровержение тезиса. Поэтому вопрос о скрытых параметрах остаётся актуальным. В настоящее время вопрос о скрытых параметрах приобрёл особенную актуальность в связи с развитием систем квантовой криптографии, использующих запутанные состояния квантовых частиц. Если будет обнаружено существование скрытых параметров в таких системах, их теоретическая невзламываемость будет отменена: зная «секрет» (какие скрытые параметры существуют в данном квантовом процессе) можно пытаться создавать системы неразрушающего чтения криптографических сообщений на основе этого знания. Сейчас ситуация такая, что природа спрятала «секрет» от всех: и от злоумышленников и от проектировщиков этих систем. Вопрос в том, кто из них первый этот секрет откроет?
С точки зрения здравого смысла, открытие скрытых параметров, раньше или позже — весьма вероятное дело. У объектов, по определению, должны быть свойства. Для доказательства этого утверждения никакой эксперимент не нужен — тут чистая логика и значения слов. А у элементарных объектов, по определению, должны быть постоянные свойства, кроме их положения в пространстве — на то они и элементарные. В физике микромира до разработки квантовой механики было признано существование некоторых элементарных частиц, наподобие классических тел и у них естественным образом было признано наличие некоторых традиционных свойств: положение, импульс, момент импульса (спин) и т. п. Затем, после разработки квантовой механики, старые понятия о частицах оставили, но начали считать, что свойств у частиц нет, пока их не измерить. То есть объекты как-бы есть, а свойств у них как-бы нет. Ситуация анекдотичная.
Да и для квантовой механики, вопреки распространённому мнению, существование скрытых параметров является в некотором смысле необходимым. Как справедливо замечено в комментарии В. В. Аристова и А. В. Никулина к переводу известной обзорной книги «Квантовый вызов» Гринштейна и Зайонца [ГЗКВ/АН], предположение о существовании скрытых параметров есть предположение о самой возможности измерения. Всё-таки, измеряя мы надеемся измерить что-то реально существующее. Без понятия о скрытых параметрах результат измерения перестаёт быть результатом измерения, а становится непонятно чем. И становится непонятным, что вообще мы исследуем этими «измерениями»? А понятие об измерении является одним из оснований квантовой теории и весь её понятийный аппарат «повисает в воздухе», если непонятно, что такое измерение.
Выход может быть в том, что на самом деле элементарные частицы представляют собой не то, что мы привыкли о них думать и не с теми свойствами (параметрами), но при этом эти свойства — реально существуют до их измерений. Этот вопрос я надеюсь подробнее осветить в других разделах книги.
Впоследствии был предложен другой способ для проверки наличия/отсутствия для квантовой механики локальных теорий со скрытыми параметрами: Гринбергера-Хорна-Цайнлингера (ГХЦ). Он принципиально отличается от теоремы Белла тем, что в нём критерий является детерминированным а не статистическим. Этот способ требует своего отдельного анализа. Но лично я сейчас думаю, что там скорее всего ситуация будет, как с теоремой Белла: либо анализируются не все классы теорий со скрытыми параметрами, либо ошибка в рассуждениях. Общее рассуждение выше, о необычных типах объектов со скрытыми параметрами, перекрывает аргументацию ГХЦ и любую подобную ей. Правда, с одной оговоркой: эти новые объекты микромира, строго говоря, в физическом пространстве могут оказаться «не совсем локальными». Наподобие того, как электрическое поле локального электрического заряда или гравитационное поле локальной массы теоретически существуют во всём пространстве Вселенной и таким образом можно считать, что даже классические объекты вместе со своими полями нелокальны. Но всё-таки, этой нелокальностью во многих случаях можно пренебрегать при решении практических задач.
Этими последними рассуждениями раскрывается смысл сделанного мной ранее замечания, что оба спорящих лагеря частично правы, а частично нет. «Классикам» надо учитывать, что фундаментальные «кирпичики» мироздания могут оказаться весьма необычного вида. «Квантовики» неправы в том, что волновая функция — это «предел мечтаний» в описании реальности. Это — «негативное» утверждение и оно противоречит философии «истинного позитивизма», которая одна только соответствует духу научного познания.
