Постулаты и основы квантовой теории

И это лучшее на свете колдовство,

Играет солнце на лезвии гребня.

И это — всё, и больше нету ничего,

Лишь только небо, вечное небо…[1]

Необходимо различать понятия «Квантовая теория» и «Квантовая механика» [ЛЬВ/ОКМ]. Квантовая теория — это общий формализм описания физических систем, частным случаем которого является квантовая механика. В квантовой механике описываются движения частиц в пространстве, в частности с помощью уравнения Шрёдингера. Квантовая теория — это общее название для способа описания любых физических систем. В ней в общем случае используется уравнение эволюции.

Квантовая теория противоречит интуитивным представлениям, поэтому лучшее, что можно сделать для её объяснения — ограничить непонятное и отделить его от более-менее понятного. Для этого расположим основные положения квантовой теории в порядке индуктивного логического вывода.

ВНИМАНИЕ! Текст ниже не описывает устройство мира — он описывает устройство самой квантовой теории. По аналогии с тем, что законы Ньютона не объясняют, откуда появляются сила и масса.

<Начало индуктивного безумия>

Постулат-1 (гипотеза Де-Бройля): Все объекты в мире описываются некоторыми волновыми процессами.

В какой среде распространяются эти волны — не определяется. Запишем элементарную волну в комплексном виде:

A·exp(i·(ω·t — k·x)) = A·expi(ω·t)·expi(-k·x) = Ф(x) expi(ω·t)

где: ω — циклическая частота; k — волновой вектор; функция expi(…) = exp(i·…).

Утверждается, что любая физическая система представляется подобным колебательным процессом, где функция Ф(x) может быть произвольной. Традиционно в квантовой механике аргумент экспоненты записывается с обратным знаком, что эквивалентно замене i на -i. На выкладки это принципиально не влияет.

Постулат-2 (гипотеза Планка): Энергия и частота пропорциональны не только для фотонов, но и для всех объектов, и связаны соотношением:

E = h·f = ħ·ω,

где: h = 6,626Е-34 кг·м²/с — постоянная Планка; ħ = h/2π; f — обычная частота.

Постулат-3 (Гамильтонов формализм): Пусть энергия E — это функция Гамильтона (H).

Для свободно движущейся частицы это логичное действие. Но это же утверждается и для произвольной системы, где есть и потенциальная энергия, которой у нас раньше не было. После этого временна’я часть волнового процесса принимает вид:

expi(ω·t) = expi(E/ħ·t) = expi(H/ħ·t)

Вследствие этого, х может быть не только вектором в физическом пространстве, но и любым другим набором координат, описывающих систему, например, набором параметров поляризации фотона. Общий формализм квантовой теории от этого не меняется (см. ниже).

Дальнейшее изложение будет протекать в варианте т. н. «представления Шрёдингера», как самого простого. Рассмотрение других представлений принципиально не отличается.

Постулат-4 (пространство состояний): Функцию Ф(x) можно считать вектором в некотором комплексном линейном пространстве возможных функций Ф для рассматриваемой системы — пространстве состояний. Размерность пространства состояний равна максимальному количеству независимых состояний системы — то есть таких состояний, векторы Ф для которых независимы (их скалярное произведение равно нулю). Причём, как это ни странно, но скалярное произведение определяется как интеграл от произведения двух функций Ф по их координатам «x». Множитель expi(H/ħ·t) можно представить как линейный оператор эволюции U(t), действующий на вектор состояния Ф и переводящий его с течением времени в другой вектор состояния Ф'(x) Предполагается, что вектор Ф всегда единичный, а разные состояния системы различаются только «направлением».

Всё это возможно потому, что к ограниченным функциям применим формализм линейной алгебры. Координаты в пространстве состояний — это не координаты функций «x», а иные, совершенно не связанные с ними числа. Удобно то, что для многих задач конкретные виды функций Ф можно не находить, ограничившись операциями с ними, как с векторами. Введя базис в пространстве состояний, можно все остальные состояния выражать относительно векторов этого базиса. Размерность пространства состояний зависит от множества исследуемых параметров системы.

В линейной алгебре определена экспонента от оператора, тоже являющаяся оператором, поэтому функцию Гамильтона H в операторе эволюции также можно представить линейным оператором Н — его называют Гамильтониан. В результате уравнение эволюции имеет вид:

Ф(x)(t) = expi(H/ħ·t) Ф₀ = U(t)·Ф₀(x)

где Ф₀ — начальное состояние системы при t=0.

Постулат-5 (операторы характеристик): Не только полной энергии, а и любой измеримой физической величине m также может соответствовать свой оператор M, действующий на векторы в пространстве состояний.

Это утверждение носит общий характер и должно быть по-своему конкретизировано для разного рода характеристик. Для физических величин смысл его в том, что если мы имеем состояние, для которого некоторая величина «m» имеет определённое значение, то по правилам линейной алгебры, вектор Ф этого состояния и его значение m можно считать собственными вектором и собственным значением некоторого оператора М. Множество возможных значений величины m и множество соответствующих векторов состояний Ф полностью определяют оператор М. Собственные векторы оператора М называются «чистые состояния» для величины m. Смысл задания операторов для величин заключается в том, что система может находиться и в несобственных состояниях для этих операторов (см. следующий постулат).

Для нечисловых характеристик собственные значения и собственные векторы могут выражаться не числами, а произвольными описательными объектами, однако допускающими введение над собой линейных операций: сложения и умножения на число. Например, для фотона фиксированной частоты характеристика — это его поляризация. Собственными векторами этой характеристики могут быть, например, единичные векторы направлений горизонтальной и вертикальной поляризации. Из них можно линейными операциями с комплексными коэффициентами модуля 1 получить описание любой другой поляризации.

Требование измеримости характеристики важно: например, угол поляризации фотона сейчас недоступен непосредственному измерению (не изобретено такого «транспортира»), поэтому для него бессмысленно определять бесконечномерное пространство состояний для угла поляризации на полуинтервале [0; 2π) и соответствующий оператор.

Постулат-6 (запутанные состояния): Любая нормированная на единицу линейная комбинация векторов состояния, тоже задаёт возможное состояние системы. Но в нём величина m уже может не иметь определённого значения, назовём такие состояния — запутанные состояния [2] применительно к величине m.

Это означает, что квантовая теория очень сильно расширяет многообразие возможных состояний по сравнению с классической физикой. Даже если для одного объекта неклассических состояний не появляется (например, для поляризаций одного фотона), то для системы из нескольких таких объектов можно определять запутанные многочастичные состояния, чему аналогов в классической физике нет. В настоящее время среди физиков общепринято считать, что такие состояния реально существуют. Лично у меня к этому вопросу отношение более сложное, но об этом будет в другом разделе.

Запутанные состояния не получается представить в виде набора реализаций системы, каждая со своим случайным классическим состоянием (см. ниже постулат о нелокальности). В квантовой теории наборы различных реализаций систем называются смешанные состояния.

Понятия собственных и запутанных состояний относительны — в пространстве состояний можно задавать разные базисы. Это эквивалентно тому, что можно создать прибор, настроенный на обнаружение у объекта любого состояния, даже запутанного.

Постулат-7 (об измерениях): При взаимодействии объекта с измерительным прибором или детектором для величины «m» происходит явление »измерения», при котором состояние Ф переходит случайным образом в одно из составляющих его собственных состояний Фi со значением величины mi. Для запутанных состояний в серии экспериментов получатся разные случайные значения mi. Вероятности различных значений и среднее значение величины m описываются выражениями:

pi = (Фi · Ф)² — вероятность получить при измерении значение mi,

pi·mi = (Фi · МФ)²,

<m> = Σi (pi·mi) = Σi (Фi · МФ)² = (Ф · МФ) — среднее значение (по серии измерении).

В непрерывном случае, бесконечномерного пространства состояний, суммирование по i заменяется на интегрирование.

Важно! Постулат ничего не говорит о статистике величины m самой по себе, до измерений, например, её среднем по времени, по пространству и т. п. — такие понятия, как правило, считаются в квантовой теории неопределёнными до измерения.

Для собственных состояний Ф = Фi, по определению для собственных векторов: МФi = mi·Фi. Поэтому в выражении для <m> остаётся ненулевым только одно слагаемое номер i, в результате <m> = mi — то есть получается определённое значение величины. В классической системе это выполняется всегда.

Если характеристика m нечисловая, то каждому состоянию можно условно назначить какое-либо число, по правилам, необходимым для конкретной задачи (например, 0 и 1 для квантовых вычислений).

Кроме термина «измерение», используются также термины «редукция» или «коллапс» «волновой функции». Например, в случае измерения координаты, состояние до измерения может быть с неопределённой координатой, как-бы «размазанное» по пространству.

В случае измерения состояний группы объектов, могут также использовать термин «декогеренция», т. к. в этом случае связанное состояние группы объектов распадается на набор несвязанных друг с другом состояний отдельных объектов.

Может случиться так, что для какой-то пары физических величин a и b, относящихся к одному объекту, базисы собственных состояний могут быть различные. В этом случае в любом состоянии системы эти величины не могут одновременно принимать определённые значения (пример: координата и импульс частицы). Тогда для них выводят т. н. «соотношения неопределённостей», которые связывают друг с другом возможные пределы погрешностей измерения этих величин. Они обычно имеют вид: D(a) * D(b) ~ h²

Постулат-8 (о нелокальности): Запутанное состояние многих частиц сохраняется при разнесении частиц в пространстве, так что измерение одной из частиц мгновенно влияет на состояние остальных: система остальных частиц переходит в другое состояние, которое ортогонально состоянию измеренной частицы в их общем пространстве состояний.

Этот постулат не следует из предыдущих — в принципе могло быть и так, что измерение состояния одной частицы не влияло бы на удалённые частицы. Так ведут себя классические системы.

Считается, что такие системы частиц с нелокальным поведением экспериментально обнаружены по их статистическим характеристикам с помощью т. н. «неравенств Белла». Лично у меня по этому поводу есть обоснованные сомнения, но об этом будет в другом разделе.

Кажущееся противоречие специальной теории относительности на практике не реализуется: результат измерения запутанного состояния случаен, поэтому с помощью этого явления не получается передача информации.

<Конец индуктивного безумия>

В квантовой механике удобнее работать не с оператором эволюции, а напрямую с Гамильтонианом, что позволяет т. н. уравнение Шрёдингера. Для механической системы: Ф — это функция координат и времени, которую можно дифференцировать по времени. При дифференцировании уравнения эволюции получаем нестационарное уравнение Шрёдингера:

dФ/dt = i·H/h·expi(H/h·t) Ф₀ = i·H/h·Ф, откуда следует:

-i·h·dФ/dt = Н·Ф

Если мы определим квантовую волну с обратным знаком в аргументе экспоненты, как это делается традиционно, то знак «минус» в левой части уравнении Шрёдингера превратится в плюс. Встречаются утверждения, что уравнение Шрёдингера не выводится, но это означает, что в том конкретном изложении квантовой теории оно постулируется и от него отталкивается остальной вывод.

Стационарное уравнение Шрёдингера не связано с нестационарным, а имеет смысл задачи на собственные значения гамильтониана H, для нахождения энергетических спектров. Оно имеет очевидный вид: НФ = E·Ф, откуда следует находить значения энергии E.

Есть разные попытки объяснения постулатов квантовой механики (это т. н. «интерпретации квантовой механики»). Все они имеют различные проблемы. Наличие различных объяснений и их проблем, связано ещё и с тем, что квантовая теория, как видно из постулатов, имеет очень высокий уровень абстракции и претендует на почётное звание «Теория всего». Поэтому в разных физических системах вектору состояния могут соответствовать разные физические сущности, несопоставимые друг с другом. Даже одну и ту же систему можно представлять себе по-разному, в зависимости от уровня наших знаний о ней и возможностях по её измерению. В результате можно получать разные пространства состояний и разные квантово-теоретические описания одной и той же системы.

Также из этого описания видно, что в отличие от теорий относительности, квантовая теория не содержит видимых противоречий. Чего же в ней плохого? Объекты микромира невозможно наблюдать непосредственно — ну пусть хотя бы так их опишем.

Проблема не в квантовой теории, а в некоторых физиках-интерпретаторах, которые делали и делают из этого формализма слишком далеко идущие выводы. О том, что мы что-то принципиально не можем наблюдать, что нельзя спрашивать через какую щель прошёл электрон, что Гильбертово пространство состояний реально существует и поэтому реально существуют бесконечно разнесённые запутанные состояния частиц, …О несостоятельности этих и других странных интерпретаций, по крайней мере в их «вульгарных» вариантах, будет рассказано далее.

-----

[1] Группа «Мельница»: «Дракон».

[2] Для профессионалов: термины «чистое» и «запутанное» состояния традиционно применяется только для систем из нескольких объектов. Однако формализм квантовой теории не зависит от элементарности объекта, к тому же элементарность — это всегда только наше предположение. Поэтому моё применение этого термина к состояниям в т. ч. и элементарных объектов не должно создать проблем.