Задача №255 [НЕДЕТСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ #1]

Канал ‎Юры‏ ‎Маркелова ‎-- ‎https://m.youtube.com/channel/UC6tQ0cTxIo7uuFPmTEjkNlw

Интервью ‎"Юра ‎Ищет‏ ‎Призвание" ‎--‏ ‎https://youtube.com/playlist?list=PLDDlS0v1AW4RB8Z9M8zyNeJSFNmVaAhKo

Youtube-канал‏ ‎Ассоциации ‎Победителей ‎Олимпиад‏ ‎-- ‎https://m.youtube.com/channel/UC6GN0KnRaRkc06bOMnGebEA

ВК-группа‏ ‎АПО ‎по ‎математике ‎--‏ ‎https://vk.com/olymp_maths

Сообщество‏ ‎"Олимпиадная ‎геометрия":

ВК‏ ‎-- ‎https://vk.com/olympgeom

Telegram‏ ‎-- ‎https://t.me/olympgeom

YouTube ‎-- ‎https://www.youtube.com/c/OlympiadGeometry

Каналы ‎со‏ ‎школьной‏ ‎простой ‎геометрией:

Геометрия‏ ‎с ‎нуля‏ ‎-- ‎https://www.youtube.com/channel/UCjobOGLAE9RVP7bvmK8YlnA

Школково ‎-- ‎https://www.youtube.com/channel/UCxWeAHyOBQWsw8jZhxWz5iw

Решения ‎можно‏ ‎писать‏ ‎в‏ ‎комментарии ‎или‏ ‎на ‎почту‏ ‎SavvateevGeometry@gmail.com.

Задачи: ‎

EASY‏ ‎-‏ ‎(Олимпиада ‎им.‏ ‎Шарыгина, ‎заочный ‎тур, ‎2009. ‎Автор:‏ ‎Владимир ‎Протасов)‏ ‎Дан‏ ‎треугольник ‎ABC. ‎Из‏ ‎вершин ‎B‏ ‎и ‎C ‎опущены ‎перпендикуляры‏ ‎BM‏ ‎и ‎CN‏ ‎на ‎биссектрисы‏ ‎углов ‎C ‎и ‎B ‎соответственно.‏ ‎Докажите,‏ ‎что ‎прямая‏ ‎MN ‎пересекает‏ ‎стороны ‎AC ‎и ‎AB ‎в‏ ‎точках‏ ‎их‏ ‎касания ‎со‏ ‎вписанной ‎окружностью.

MEDIUM‏ ‎- ‎(Санкт-Петербургская‏ ‎математическая‏ ‎олимпиада, ‎1999.‏ ‎Автор: ‎Фёдор ‎Бахарев). ‎В ‎неравнобедренном‏ ‎треугольнике ‎АВС‏ ‎проведены‏ ‎биссектрисы ‎AA1 ‎и‏ ‎CC1 ‎,‏ ‎кроме ‎того, ‎отмечены ‎середины‏ ‎К‏ ‎и ‎L‏ ‎сторон ‎АВ‏ ‎и ‎ВС ‎соответственно. ‎Точка ‎Р‏ ‎–‏ ‎основание ‎перпендикуляра,‏ ‎опущенного ‎из‏ ‎вершины ‎А ‎на ‎прямую ‎CC1‏ ‎,‏ ‎а‏ ‎точка ‎Q‏ ‎– ‎основание‏ ‎перпендикуляра, ‎опущенного‏ ‎из‏ ‎вершины ‎С‏ ‎на ‎прямую ‎AA1 ‎. ‎Докажите,‏ ‎что ‎прямые‏ ‎КР‏ ‎и ‎LQ ‎пересекаются‏ ‎на ‎стороне‏ ‎АС. ‎

HARD ‎- ‎(Задача‏ ‎M12165‏ ‎из ‎журнала‏ ‎American ‎Mathematical‏ ‎Monthly. ‎Авторы: ‎Tran ‎Quang ‎Hung‏ ‎и‏ ‎Nguyen ‎Minh‏ ‎Ha ‎(Вьетнам))‏ ‎Пусть ‎MNPQ ‎— ‎прямоугольник ‎с‏ ‎центром‏ ‎K,‏ ‎вписанный ‎в‏ ‎треугольник ‎ABC‏ ‎так, ‎что‏ ‎точки‏ ‎N ‎и‏ ‎P ‎лежат ‎на ‎сторонах ‎AB‏ ‎и ‎AC‏ ‎соответственно,‏ ‎в ‎то ‎время‏ ‎как ‎M‏ ‎и ‎Q ‎лежат ‎на‏ ‎BC.‏ ‎Вписанная ‎окружность‏ ‎△BMN ‎касается‏ ‎BM ‎в ‎точке ‎S ‎и‏ ‎BN‏ ‎в ‎F,‏ ‎вписанная ‎окружность‏ ‎△CQP ‎касается ‎CQ ‎в ‎T‏ ‎и‏ ‎CP‏ ‎в ‎E.‏ ‎Пусть ‎L‏ ‎— ‎точка‏ ‎пересечения‏ ‎линий ‎FS‏ ‎и ‎ET. ‎Докажите, ‎что ‎KL‏ ‎делит ‎пополам‏ ‎отрезок‏ ‎ST.

Наши ‎ресурсы: ‎https://vk.com/alexei_savvateev https://www.instagram.com/aleksey_savvateev https://www.facebook.com/savvatan https://savvateev.livejournal.com https://savvateev.xyz https://t.me/savvateev_xyz

Поддержать‏ ‎Алексея ‎Савватеева:‏ ‎https://sponsr.ru/checkout?project=savvateev